Identidades notables - Ejercicios y explicación

Las identidades notables son ecuaciones que simplifican el cálculo en álgebra y análisis. Entre las más famosas o aquellas que se piden y que puede que estés buscando tenemos el cuadrado de una suma:

(a+b)2=a2+2ab+b2;

el cuadrado de una resta:
(a−b)2=a2−2ab+b2;

o también la suma por diferencia: a2−b2=(a+b)(a−b).

Pero para entenderlas o para que sepas resolverlas debes saber que no dejan de ser polinomios de dos términos (binomios) al cuadrado, o producto de dos binomios.

Que son las identidades notables

Las identidades notables están formadas por los llamados binomios (polinomios de dos términos) cuando se elevan al cuadrado, o también pueden ser el resultado del producto de dos binomios. El desarrollo para ellos suele hacerse siempre bajo la misma regla, de manera que una vez entendida esta, podremos resolver cualquier ejercicio que tenga que ver con identidades notables.

Cuando sepas identificar las identidades notables, no hará falta que vayas multiplicando cada término, tan solo deberás aplicar la fórmula de cada uno de estos binomios.

Así, las fórmulas de las identidades notables que más se suelen utilizar y que vemos a continuación al detalle serán: 

• El cuadrado de una suma
• El cuadrado de una resta y la suma por diferencia que también se conoce con diferencia de cuadrados.

El cuadrado de la suma

El cuadrado de la suma en las identidades notables es igual al cuadrado del primero, más dos veces el producto del primero y del segundo, más el cuadrado del segundo:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

La prueba de la fórmula es muy simple. Para probar la fórmula es suficiente multiplicar la expresión:

( a + b ) 2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2

Para entenderlo algo mejor, podemos poneros un ejemplo gráfico. Imagina un cuadrado con lado: ( a + b ), su área es ( a + b ) 2.

Ahora, si subdividimos este cuadrado en cuatro partes por líneas rectas. Dos de las piezas serán cuadrados grises con el lado de los tamaños de una y b. Las áreas de dos cuadrados más pequeños son a 2 y b 2 respectivamente.

Otras dos partes son los rectángulos blancos congruentes con el lado de los tamaños de a y de b cada uno. El área de cada uno de los dos rectángulos es ab

Entonces el área del cuadrado grande es la suma de las áreas de sus partes, la imagen de arriba ilustra el cuadrado de la fórmula de suma:

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + ab + ab = a 2 + 2 ab + b 2

Entonces el área del cuadrado grande es la suma de las áreas de sus partes, la imágen de arriba ilustra el cuadrado de la fórmula de suma:

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + ab + ab = a 2 + 2 ab + b 2

El cuadrado de la diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos expresiones es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto del primero y segundo, más el cuadrado del segundo:

( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2

Si tenemos que probar y dividir la fórmula explicada, tenemos que hacer lo siguiente:

( a - b ) 2 = ( a - b ) · ( a - b ) = a 2 - ab - ba + b 2 = a 2 - 2 ab + b 2

Ejercicios de las identidades notables

Una vez os hemos explicado las identidades notables y cuáles son las fórmulas más conocidas al respecto, podemos poneros algunos ejercicios. No os preocupéis, nada complicado, con los que comprobar si realmente lo habéis entendido.

1.- Expande estas expresiones:

a) (2x + 1) 2 =

b) (3x - 2) 2 =

c) (2x - 7) · (2x + 7) =

2.- Descompon estos polinomios en factores:

a) x 2 - 4x + 4 =

b) 4x 2 - 1 =

c) 36a 2 - 12ab + b 2 =

3.- Calcular:

a) (x + 2) 2 - (x + 2) · (x -2) =

b) (a + b) 2 - a 2 + 2ab - 2b 2 =

*¿Cómo han ido? Seguramente los habrás resuelto en un momento, pero si no es así no te preocupes, al final del post te dejamos las soluciones.

Además, os dejo este otro ejercicio (ya resuelto) para que veas un ejemplo de identidades notables de tres variables (haz click sobre la imagen para verlo en grande).:

Explicación de las identidades notables

Ahora veamos un poco mejor la explicación de las identidades notables y como estas nos ayudarán en realidad a resolver cualquier problema planteado con binomios y polinomios.

Las ecuaciones algebraicas que son verdaderas para todos los valores de variables en ellas se llaman identidades notables. También se usan para la factorización de polinomios. Así es como encuentran utilidad en el cálculo de expresiones algebraicas.

Ya has aprendido algo sobre ellas y ahora vamos a ver cuáles son las más conocidas y algunos ejemplos más de sus problemas.

Todas las identidades algebraicas estándar se derivan del teorema de los binomios que se da como:

( a + b ) n = n C 0 . a n . b 0 + n C 1 . a n - 1 . b 1 + ... ... . . + n C n - 1 . a 1 . b n - 1 + n C n . a 0 . b n

Las identidades algebraicas estándar son:

• Identidad I:             (a + b) 2  = a 2  + 2ab + b 2
• Identidad II:            (a - b) 2  = a 2  - 2ab + b 2
• Identidad III:          a 2  - b 2 = (a + b) (a - b)
• Identidad IV:          (x + a) (x + b) = x 2  + (a + b) x + ab
• Identidad V:           (a + b + c) 2  = a 2  + b 2  + c 2  + 2ab + 2bc + 2ca
• Identidad VI:          (a + b) 3  = a 3  + b 3  + 3ab (a + b)
• Identidad VII:         (a - b) 3  = a 3  - b 3  - 3ab (a - b)
• Identidad VIII:       a 3  + b 3  + c 3  - 3abc = (a + b + c) (a 2  + b 2  + c 2  - ab - bc - ca)

Veamos ahora algunos ejemplos de lo explicado:

Ejemplo 1: Encuentra el producto de (x + 1) (x + 1) usando identidades notables estándar.

Solución:  (x + 1) (x + 1) se puede escribir como (x + 1) 2 . Por lo tanto, es de la forma Identidad Idonde a = x y b = 1. Así que tenemos,

(x + 1) 2 = (x) 2 + 2 (x) (1) + (1) 2 = x 2 + 2x + 1

Ejemplo 2: factorización (x 4 - 1) usando identidades notables estándar.

Solución:  (x 4 - 1) tiene la forma Identidad III donde a = x 2 yb = 1. Así que tenemos,

(x 4 - 1) = ((x 2 ) 2 - 1 2 ) = (x 2 + 1) (x 2 - 1)

El factor (x 2 - 1) se puede factorizar con la misma Identidad III donde a = x y b = 1. Entonces,

(x 4 - 1) = (x 2 + 1) ((x) 2 - (1) 2 ) = (x 2 + 1) (x + 1) (x - 1)

Ejemplo 3: Factorizar 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx usando identidades notables estándar.

Solución: 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx tiene la forma Identity V. Así que tenemos,

16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx = (4x) 2 + (-2y) 2 + (-3z) 2 + 2 (4x) (- 2y) + 2 (-2y) (- 3z) + 2 (-3z) (4x)

= (4x - 2y - 3z) 2 = (4x - 2y - 3z) (4x - 2y - 3z)

*Solución de los ejercicios

1.- a) 4x 2 + 4x +1; b) 9x 2 - 12x + 4; c) 4x 2 - 49

2.- a) (x - 2) 2 ; b) (2x +1) · (2x -1); c) (6a - b) 2

3.- a) 4x + 8; b) 4ab -b 2

Vídeo de las identidades notables

Y para entender del todo lo explicado, nada como dejaros un vídeo en el que repasen de nuevo que son las identidades notables.